15 ago. 2010

Viaje a través de los Genios


Había un sendero que conducía a New Southgate atravesando el campo, y yo acostumbraba a ir allí para contemplar la puesta de Sol y pensar en el suicidio. Pero no me suicidé, porque quería saber más matemáticas.

Este párrafo, cortesía de Bertrand Russell, es la entrada que da este libro para hacernos intuir cómo las matemáticas pueden acaparar la voluntad de una persona. A partir de aquí, el autor se adentra tanto en explicar la vida de algunos de sus personajes como en exponer muchas demostraciones.
Las matemáticas han conseguido éxitos espectaculares en sus diversas aplicaciones. Pero no ha sido esta utilidad mundana lo que impulsó a Euclides, Arquímedes o Cantor a dedicar gran parte de su vida y genio a las matemáticas. Estos matemáticos no se sintieron obligados a justificar su trabajo con aplicaciones utilitaristas de ningún tipo, lo mismo que Shakespeare no tuvo que pedir excusas por escribir sonetos de amor en vez de libros de recetas de cocina o Van Gogh por pintar lienzos en vez de paneles. Y es cierto: no deja de ser curioso que nadie pregunte a un pintor para qué pinta cuadros y luego pregunten a los científicos para qué estudian ciencia.

Habla de los clásicos, empezando por Tales de Mileto, aunque se tengan pocos datos biográficos del mismo. Se cuenta que un labrador que acostumbraba a cargar su asno con sacos de sal cuando iba al mercado tenía el problema de que el animal aprendió a ladearse mientras vadeaba un arroyo de agua. De este modo, gran parte de la sal se disolvía y la carga se aligeraba notablemente. El labrador fue a Tales buscando consejo y le recomendó que el próximo viaje cargara al animal con esponjas.

Habla de Euclides citando su libro Elementos. Lo hace de modo muy extenso y es, la verdad, muy interesante, así que me reservo el tema para una historia aparte.

Si tuvierais un terreno con forma triangular y quisierais calcular su área, ¿cómo lo haríais? Recordad que la fórmula del área del triángulo es la mitad de la base por su altura. Pero vosotros sólo conocéis las longitudes de los lados. ¿Os imagináis tener que dibujarlo a escala, calcular la altura,…? Por suerte, la fórmula de Herón viene en nuestra ayuda y deja el área del triángulo, conocidos sus lados, como:


El autor también da la demostración, que es auténticamente sensacional. Conlleva un montón de pasos en los que uno no tiene idea de dónde va a acabar, y cuando parece que la impresión es total, que uno está perdido y no entiende por qué hace lo que hace, aparece la magnífica fórmula. Y no sólo eso: de dicha fórmula se deduce el teorema de Pitágoras. Impresionante.

Habla también de PI. Hay muchos personajes implicados en su historia, demasiados para comentarlos aquí y hay montones de sitios donde se explica con pelos y señales, así que sólo diré algunos detalles. Ludolph van Ceulen dedicó años de su vida a calcular su valor con la estrategia arquimediana llegando a manejar polígonos de 262 lados(!) y con ello sólo pudo obtener 35 cifras. Los ataques más fuertes a este número han venido de diferentes ramas de la matemática. Leibniz obtuvo una serie que permitía averiguar PI/4 y Abraham Sharp y John Machin introdujeron modificaciones que produjeron series que convergían mucho más rápidamente. Con menos esfuerzos pudieron calcular muchos más dígitos decimales de PI que Ceulen. En 1767, Johann Heinrich Lambert demostró que era un número irracional (no puede ser el cociente de dos números) y Ferdinand Lindemann demostró en 1882 que es un número trascendente.

Otro de los que contribuyó fue Ramanujan. Diseñó muchas fórmulas que proporcionaban aproximaciones rápidas y muy exactas de PI. Algunas de esas fórmulas aparecieron en un importante trabajo en 1914, otras quedaron garabateadas en sus cuadernos de trabajo privados (hoy día esos cuadernos están en manos de la comunidad matemática). Pero no sólo eso: las ideas de Ramanujan han abierto líneas de investigación acerca de cálculos mucho más eficaces de PI.

Habla de la historia de Tartaglia y Cardano con bastante detalle explicando la resolución de las ecuaciones de tercer grado. Pero aunque se solucionaban, se veía que las había con una sola solución real y las otras dos complejas. Esto sucedía también en las ecuaciones de segundo grado, la de la famosa fórmula:



Lo que hay dentro de la raíz cuadrada recibe el nombre de discriminante. Si dicho discriminante es negativo, tenemos la raíz cuadrada de un número negativo y la ecuación no tiene solución real. Había muchos que decían que aquello no era una solución. Parece ser que el primero que dejó de lado los prejuicios fue Rafael Bombelli y lo desarrolló en su tratado Algebra de 1572.

Resulta que aceptando que raíz de menos uno es el número i (imaginario), se obtenían soluciones casi inesperadas y no era trivial despreciarlas. El problema era asegurarse que esto era realmente cierto. Tuvieron que pasar del orden de 200 años hasta que llegaron Euler, Gauss y Cauchy para poner las cosas en su sitio.

Y no creáis que es una cosa del pasado. Hoy día hay quien dice que los matemáticos son místicos por utilizar los números complejos.

También habla de Blaise Pascal. Con 14 años asistía a reuniones de maduros matemáticos franceses e hizo escritos a sus 16 años. Descartes se impresionó tanto por sus trabajos que afirmó que no podía creer que fueran de él. Pero, aunque tenía este magnífico talento para las matemáticas, decidió dedicar la mayor parte de su vida de adulto a cuestiones teológicas y su trabajo en este campo es todavía estudiado regularmente.

Era una persona que creia ver presagios en los acontecimientos que ocurrían a su alrededor. Concluyó que el plan de Dios no incluía las matemáticas. Un día, sin embargo, en medio de un molesto dolor de muelas, cuando tenía 35 años, dejó vagar su mente por pensamientos matemáticos y sus dolores desaparecieron. Lo tomó como una señal clara y volvió rápidamente a la investigación matemática. Consiguió descubrir las propiedades fundamentales de las curvas cicloides. Murió a la edad de 39 años.

También explica cómo se deduce la aproximación del cálculo de PI que hizo Newton. Lo había escrito en 1671 pero permaneció décadas inédito. En cierta ocasión, cuando comentaba estas aproximaciones, dijo de una forma un tanto tímida: Me da vergüenza confesarle cuántas cifras decimales he calculado, pues no tenía otra cosa que hacer en ese momento.

Una de las mejores imágenes del genio viene de su sobrino, Humphrey Newton, quien escribió:

Siempre se mantuvo enfrascado en sus estudios y muy raras veces visitaba a nadie y recibía muy pocas visitas… nunca lo vi tomarse un descanso ni un asueto, ni pasear a caballo para tomar el aire, ni pasear, jugar a los bolos, ni hacer ningún tipo de ejercicio, sino pensando todo el tiempo que no dedicaba a sus estudios… Raramente venía a cenar al College… y, cuando venía, lo hacía muy descuidadamente, con los zapatos en chanclas, las medias arrugadas, con la sobrepelliz puesta y la cabeza despeinada.

Era mal profesor. Un contemporáneo decía que tan pocos asistían a escucharle y todavía menos lo entendían que, con frecuencia, por falta de oyentes, le explicaba a los muros.

Laplace reflejaba su admiración y, en cierto modo, envidia:

Newton fue el genio más grande que haya existido nunca, y el más afortunado, pues no podemos encontrar un sistema para fundar el mundo una vez más.

Habla de los Bernoulli. De esta familia tampoco os he hablado y es una de las más pinorescas en la historia de las matemáticas. Uno de ellos, Johann, imaginó dos puntos A y B, uno por encima del otro. Buscaba la curva que hacía que una bola rodara en el menor tiempo posible.


La llamó “braquistócrona” (del griego “más corto” y “tiempo”). No es una recta, como puede pensarse a primera vista, ya que la recta sería la más corta, pero no por ello la que hace que se vaya de un punto a otro en el menor tiempo posible. Dio al mundo un plazo de 6 meses para solucionarlo. Como decía él mismo:

Este premio no es ni oro ni plata, ya que estos metales sólo apelan a las almas bajas y banales… Más bien, puesto que la virtud es, en sí misma, su máxima recompensa y la fama es un poderoso incentivo, ofrecemos el premio idóneo para un hombre de noble cuna, compuesto de honor, alabanza y aprobación…

Por aquella época, Newton estaba implicado en problemas de la Casa de la Moneda y, como él mismo admitía, no tenía la agilidad mental que caracterizó su apogeo matemático. Su sobrina Catherine Conduitt nos explicaba los detalles:

Cuando Bernoulli envió el problema en 1697, sir Isaac Newton estaba apremiado ocupado en una acuñación masiva y no volvió a casa hasta las 4 desde la Torre con un tremendo cansancio, pero no se durmió hasta que no lo hubo resuelto, hacia las cuatro de la mañana.

Faltaba poco para que finalizara el desafío y Johann había recibido cinco soluciones: la suya, la de Leibniz, la de su hermano Jakob, la del Marqués de L’Hôpital y una que tenía un sello inglés. Esta última no llevaba firma. Según la leyenda, Johann la abrió y dijo: Reconozco al león por sus garras.

Habla también de Euler, del que decíamos que era el Shakespeare de las matemáticas. Era capaz de hacer cálculos mentalmente que implicaban números de hasta 50 cifras. François Arago decía que calculaba sin esfuerzos aparentes igual que una persona respira o el águila se mantiene en el aire. Se conocía entero el texto de La Eneida de Virgilio.

Era muy humilde, por otra parte. Condorcet decía que prefería instruir a sus discípulos más que la pequeña satisfacción de sorprenderlos. Un humorista, mitad en serio, mitad en broma, dijo que:

… existe un amplio precedente en eso de dar a leyes y teoremas el nombre de personas que no las descubrieron; de lo contrario, la mitad del análisis matemático debería llevar el nombre de Euler.

Al morir, el mismo Condorcet dijo: dejó de calcular y de vivir. Sublime.

Habla de Gauss y de d’Alembert y de que, en algunos países, al Teorema Fundamental del Álgebra se le llama “Teorema de d’Alembert”, pero que en realidad, aunque lo atacó, nunca pudo demostrarlo. Llamar a ese teorema por ese nombre sería como rebautizar Moscú con el nombre de Napoleón simplemente porque intentó conquistarla. Euler también hizo una demostración parcial, pero fue Gauss quien lo demostró totalmente.

Aunque Gauss no escribió tanto como Euler, tenía un lema que decía pocas cosas pero maduras. La investigación inédita que se encontró de Gauss hubiera podido encumbrar a la fama a docenas de matemáticos. Vamos, que escribió poco, pero cada vez que lo hacía había que tomar nota.

Habla también de que durante una época no había forma de definir el límite de una función y después de volver locos a genios como Leibniz o Cauchy, finalmente, Karl Weiertrass, dio la definición que todos conocemos hoy día:



Finalmente, tiene un capítulo sobre Cantor explicando su matemática transfinita de forma absolutamente sensacional. Cantor demostró que había muchos más números trascendentes que no algebraicos. Pero no hablo de unos pocos más, sino una infinidad más. E.T. Bell lo explicaba muy bien:

Los números algebraicos se localizan en el plano como las estrellas sobre un cielo oscuro; la densa oscuridad es el firmamento de los números trascendentes.

Lo curioso es que tal y como conocemos montones de números algebraicos, apenas conocemos trascendentes. Y es que, en matemáticas, muchas veces es más fácil demostrar la existencia de algo que no encontrar un ejemplo. Y todo ello gracias a la matemática transfinita del formidable Cantor.

Por si fuera poco, nos dejó como regalito la Hipótesis del Continuo, que es un problema muy parecido, en cuanto a forma, al quinto postulado de Euclides. La historia se repite hasta en las matemáticas.

Cantor recibió muchos ataques. Eso de jugar con el infinito no gustaba a ciertos matemáticos e intentaron demostrar que no era consistente. No pudieron. En palabras del propio Cantor:

Mi teoría permanece tan firme como una roca; cada dardo que dirigen contra ella se volverá rápidamente contra el que lo dispare. ¿Cómo es esto? Porque he estudiado todas las objeciones que se han hecho alguna vez contra los números infinitos; y sobre todo porque he seguido sus raíces, por así decirlo, hasta la primera causa infalible de todas las cosas creadas.

Como dijo Hilbert:

[La matemática transfinita es] el más fino producto del genio matemático y uno de los logros supremos de la actividad intelectual humana pura. Del paraíso que nos ha creado Cantor, nadie nos echará.

En fin, un libro muy entretenido e informativo. Puedo recomendarlo a todo el mundo, aunque matizando. Quien tenga algo o mucha soltura matemática disfrutará de lo lindo. Para quien no tenga nada de soltura y quiera hacer un esfuerzo, vale la pena intentarlo, aunque no prometo nada. Por otro lado, uno se puede saltar esos trozos pero, en mi opinión, sería un sacrilegio.


Título: “Viaje a través de los genios”
Autor: William Dunham

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