21 abr. 2011

Números trascendentes


No se trata de números que estén más allá del conocimiento ni que traspasen ninguna frontera de experiencia, como podría parecer si acudimos al diccionario. Trascendente significa no algebraico en términos matemáticos.

Veamos qué significa eso.

No son números enteros (ni 2, ni 3, ni 18…), ni son racionales (ni 2/3, ni 4/5, ni 7/12…). Entonces son irracionales, es decir, son números que no son expresables como fracción de dos números enteros. Aunque la parte decimal de algunos números racionales sea infinita, habrá una secuencia que se repetirá indefinidamente, que será periódica. En cambio los números irracionales tienen partes decimales infinitas y no periódicas de secuencia impredecible.

Pero ello ocurre también con los radicales (√2, √3…), así que deberemos establecer otra condición para definir los números trascendentes: no pueden ser descritos como la raíz de una fracción, lo que implica que no son solución de una ecuación algebraica (anxn + an-1xn-1+ a1x +…+ a0 =0) y se les llama no algebraicos.

Así tenemos que todos los números trascendentes son irracionales, aunque no todos los irracionales son trascendentes y que los trascendentes son no algebraicos.

Esta distinción entre irracionales algebraicos y trascendentes se hizo en el siglo XVIII y el interés en esta diferenciación se intensificó en el siglo XIX al comprobar que no todos los irracionales algebraicos se podían obtener por operaciones algebraicas sobre números racionales.

Pero… ¿cuáles son estos números?

Hay muchos una infinidad, pero los más conocidos son el número e y π (pi). Sus valores aproximados son:

π=3,14159265358979323846…

e=2,7182818284590452354…

Pero ¿por qué se “inventan” los matemáticos esos números tan largos y tan raros? ¿De dónde los sacan?

Pues no se los inventan, son números que aparecen continuamente de manera natural al modelizar fenómenos naturales. En cualquier campo de la matemática, donde uno menos lo espera. Por ejemplo en la desintegración nuclear, en el movimiento oscilatorio, en algunas conchas de moluscos en espiral logarítmica, en la velocidad de vaciado de un depósito de agua, en el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, en el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil, en el patrón de crecimiento de una planta o en el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto.

Nota sabionda: Aunque no es una constante física, π aparece rutinariamente en ecuaciones que describen los principios fundamentales del Universo: en la constante cosmológica, en el principio de incertidumbre de Heisenberg, en la ecuación de campo de la relatividad general, en la ley de Coulomb para la fuerza eléctrica, en la permeabilidad magnética y en la tercera ley de Kepler.

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